제타 함수
제타 함수는 다음과 같이 정의된다. \[\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}{n^{-s}}\]무한 급수이다. 어느 범위에서 수렴할까? 조화급수는 발산하므로 \(s=1\)에서 발산한다.
\(s\not=1\)에서는 integral test를 이용하면
\[\int^{\infty}_{1}{t^{-s}}\mathrm{d}t = \lim_{t\rightarrow\infty}{\frac{1}{1-s}t^{1-s}}-1\]에서 \(1-s < 0\), 곧 \(s > 1\)에서 수렴한다.
\(\zeta(2)\)가 수렴한다는 사실은 integral test에서 알 수 있다. 그렇다면 이 값은 얼마일까?(Basel problem)
Euler는 이 값을 다음 식을 통해 증명했다.\[\begin{align*}\sin{x} &= x - \frac{1}{6}x^{3} + o(x^{3})\\
&= x\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{x^{2}}{n^{2}\pi^{2}}\right)\\
\therefore 1 - \frac{1}{6}X + o(X) &= \prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{X}{n^{2}\pi^{2}}\right)\quad\mathrm{for}\ X\geq 0\\
\end{align*}\]양변을 미분하고 \(X:=0\)을 대입하면,\[\begin{align*}-\frac{1}{6}+o(1) &= \sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{1}{n^{2}\pi^{2}}\prod_{k=1,k\neq n}^{\infty}\left(1-\frac{X}{k^{2}\pi^{2}}\right)\right)\\
-\frac{1}{6} &= -\frac{1}{\pi^{2}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\\
\therefore \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} &= \frac{\pi^{2}}{6} \quad\square\\
\end{align*}\](정의역 \(X\geq 0\) 때문에 \(X := 0\) 대입이 껄끄럽다면 \(X \rightarrow 0^{+}\) 극한을 취하면 된다.)