well-definedness

수학에서는 용어term가 자주 정의된다.
그러나 모든 수학 용어의 정의는 있던 것에 이름만 붙이는 것이다.
그러므로 용어를 정의할 때는 그 용어가 잘 정의되었는지well-defined를 꼭 따져야 한다.

용어의 well-definedness^[1]는 무엇인가? 다음의 정의를 보자.

Definition 1. 모든 원에서, 원의 둘레를 원의 지름으로 나눈 값을 \(\pi\)라 한다.

중학교 때 배우는^[2] \(\pi\)의 정의이다.
이 정의는 정의 자체에 문제가 되는 부분이 있다. \(\pi\)는 원의 크기에 의존하지 않는다.
따라서 다음과 같은 물음이 가능하다:

모든 원에서, 원의 둘레를 원의 지름으로 나눈 값이 항상 일정한가?

만약 그렇지 않다면 \(\pi\)는 \(\pi_{r}\)과 같이 쓰여야 하고, 저 정의가 틀렸다고까지 할 수 있다.
그러니 우리는 모든 원이 닮음이므로 이것이 항상 일정하다는 사실을 알고 있다.
따라서 여기서 \(\pi\)는 well-definedness를 갖는다.
다른 예를 보자. 다음은 극한의 엄밀한 정의이다.

Definition 2. \(\forall \epsilon > 0\)에 대해 \(\exists \delta\)가 존재해서 \[0 < \left|x - c\right| < \delta \Rightarrow \left|f(x) - L\right| < \epsilon\]이면 \(f\)는 \(c\)에서 극한값 \(L\)을 갖는다고 한다.

이 정의는 다음 물음이 던져졌을 때 문제가 발생한다.

위의 정의가 우리가 직관적으로 알고 있던 극한이 맞다면, 함수가 극한값을 가질 때 그 값이 유일한가?^[3]

Definition 1의 경우와 위의 경우에서 다른 점은,
Definition 1은 정의 자체가 유일성을 내포하고 있으나,
Definition 2의 물음은 우리가 유일성을 요구하고 있다.
이런 경우는 우리가 활용을 위해 그 성질을 증명하는 것일 뿐,
극한값의 well-definedness를 보이는 것은 아니다.

[1] 필자가 이 용어의 한국어화를 요구받았을 때, 즉석에서 잘 정의됨성(-性)이라고 한 일이 있다. 이 용어는 개인적으로 마음에 썩 들지 않는다. 따라서 이 글에서는 원어 그대로의 well-definedness를 사용하기로 한다.
[2] 사실 개념은 초등학교 때 배운다. 그러나 초등학교 수학은 수학을 실생활에 활용하는 직접적인 도구로서 활용하게끔 하는 교육에 초점이 맞추어져 있으므로, 무리수의 개념도 없을뿐더러 원의 넓이와 비슷한 값을 구하는 것에 만족한다. 따라서 이 시기에는 \(\pi \approx 3.14\)로 근사하여 사용한다.
[3] 이 물음의 증명은 여기에 나와 있다. 궁금하면 읽어보기를 권한다.