\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin n}{n}\)

이 Article에서 우리가 구하고자 하는 것은, 제목에 적힌 것보다 조금 일반적인 것이다:\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin nx}{n},\quad(0 < x < 2\pi)\]하지만 이 수렴성과 구체적인 값의 논의를 위해 Lipschitz 연속 함수의 조건과 Fourier 이론을 사용하지는 않을 생각이다. 이 Article의 목적은, 대학교 1학년 수준의 미적분학을 사용하여 이 급수의 수렴과 값에 대한 납득할 만한 설명을 내어 놓는 것이다. 먼저, 해당 급수가 \(x\)에 관계없이 수렴함을 보인다. 수열들을\[\begin{align*}a_{n} &:= s_{n} + \frac{\sin (n+1)x}{n}\\ b_{n} &:= c_{n} + \frac{\cos (n+1)x}{n}\\ c_{n} &:= \sum_{k=1}^{n}\frac{\cos kx}{k}\\ s_{n} &:= \sum_{k=1}^{n}\frac{\sin kx}{k}\\ \end{align*}\]와 같이 정의한다. 이는 \(y\)축 위에서 움직이는 \(s_{n}\)의 일종의 \(1\)차원 운동을 \(2\)차원에서 일반항이 간단한 거리로 구해지는 것으로 변환하기 위함이다. \((c_{n}, s_{n})\)과 \((c_{n+1}, s_{n+1})\) 사이의 거리는\[\sqrt{(c_{n+1}-c_{n})^{2} + (s_{n+1}-s_{n})^{2}} = \sqrt{\left(\frac{\cos(n+1)x}{n+1}\right)^{2} + \left(\frac{\sin(n+1)x}{n+1}\right)^{2}} = \frac{1}{n+1}\]이고, \((c_{n}, s_{n})\)과 \((b_{n}, a_{n})\) 사이의 거리는\[\sqrt{(b_{n}-c_{n})^{2} + (a_{n}-s_{n})^{2}} = \sqrt{\left(\frac{\cos(n+1)x}{n}\right)^{2} + \left(\frac{\sin(n+1)x}{n}\right)^{2}} = \frac{1}{n}\]이다.