\(3\)-차원에서의 회전변환

이 글을 읽는 독자는 개정 전(7 또는 6차 교육과정) 행렬과 일차변환을 알고 있다고 가정한다. 따라서 이를 별도로 설명하지 않으며, 3차원 벡터 \(v = (x, y, z)\)의 꼴로, 3차원 행렬 \[L = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} & a_{23}\\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}\]으로 적으면서, 벡터 \(v\)와 행렬 \(L\)을 곱하는 것(정확하게는 standard basis에 관해 나타낸 행렬 표현이 행렬 \(L\)과 대응하는 일차변환 \(L\)^[1]의 \(v\)에 대한 evaluation)은 \[Lv = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} & a_{23}\\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix}\]와 같은 조금~~많이?~~ 헷갈리는 표기법도 쓴다. 즉, 벡터를 단순히 나타낼 때는 공간을 차지하는 1열 행렬(이하 열벡터) 표기를 쓰지 않지만 이 글에서는 모든 벡터를 열벡터로 인식한다. \(x\)축, \(y\)축, \(z\)축을 나타내는 벡터는 아주 중요한 벡터이므로 더 이상 이름 없이 부르지 않고 standard basis라는 거창한 이름을 붙이고,\[\begin{align*}\mathrm{e}_{1} &= e_{1} := (1, 0, 0)\\ \mathrm{e}_{2} &= e_{2} := (0, 1, 0)\\ \mathrm{e}_{3} &= e_{3} := (0, 0, 1)\\ \end{align*}\]로 표기한다. \(\mathrm{e}\)와 \(e\)는 다르지만, 이 글에서는 자연상수 \(e\)가 (여기 말고) 단 한 번도 나오지 않으므로, notation의 편의(와 줄어들 문서의 크기)를 위해 혼용한다.
이 글에서의 \(0\)은 모두 덧셈에 대한 항등원을 나타낸다. 따라서 \(0\)을 볼 때마다 이것이 어느 \(0\)인지를 파악하는 사고가 요구된다. 아래 식은 이를 뚜렷이 구분해 적어 놓았지만, 앞으로 이들 \(0\)은 그냥 \(0\)으로 쓴다. \(0_{\mathbb{Z}}\)는 정수, \(0_{\mathbb{R}^{2}}\)는 평면벡터 \((0_{\mathbb{Z}}, 0_{\mathbb{Z}})\), \(0_{\mathbb{R}^{3}}\)는 공간벡터 \((0_{\mathbb{Z}}, 0_{\mathbb{Z}}, 0_{\mathbb{Z}})\)를 나타낸다.\[\begin{align*}8 + 0_{\mathbb{Z}} &= 8\\ (5, 9) &= 0_{\mathbb{R}^{2}} + (5, 9)\\ 0_{\mathbb{Z}}(9, -8, -1) &= 0_{\mathbb{R}^{3}}\\ 0_{\mathbb{Z}} \cdot (2, 0, -4) &= 0_{\mathbb{R}^{3}}\\ \end{align*}\](맨 마지막 식은 \(0_{\mathbb{R}^{3}} \cdot (2, 0, -4) = 0_{\mathbb{Z}}\)로 보는 것이 더 정확하지만,^[2] 이 글에서는 내적 연산을 다루지 않으므로 \(\cdot\)이라도 상수곱 기호로 본다.)
이 글에서는 vector space를 주로 다룰 것이다. vector space는 다음과 같이 정의된다.

체 \(F\) 위에서 어떤 object를 모아 놓은 집합 \(V\)가 이 object들에 대해 정의된 연산 규칙 \(+: V \times V \rightarrow V\)과 \(\cdot: F \times V \rightarrow V\)이 \(+\)에 대해 교환 법칙, 결합 법칙, 항등원과 역원이 존재하며, \(\cdot\)에 대해
\(a, b \in F\), \(v \in V\)에 대해 \(a\cdot (b \cdot v) = (ab) \cdot v\), \(1\cdot v = v\)
\(a, b \in F\), \(v, w \in V\)에 대해 \((a + b)\cdot (v + w) = a \cdot v + a \cdot w + b \cdot v + b \cdot w\)
이면 \(V\)(정확하게는 \((V, +, \cdot)\))를 vector space (over \(F\))라 하며, \(V\)의 임의의 원소를 vector라 부른다.

엄밀한 정의를 갖고 있지만, 살펴 보면 자명한 사실의 나열에 불과하다. 우리는 일반적인 vector space에 대해 다룰 생각은 전혀 없고, 모든 공간벡터들을 모은 집합, 즉 좌표공간 \(\mathbb{R}^{3}\)^[3]가 이 사실을 만족하므로 이것을 vector space로 인식하고 이 공간에 대해 집중적으로 파헤칠 것이다.

[1] 두 개의 다른 것이 같은 이름으로? 하지만, 실제로 일차변환 혹은 (좌표계에 무관하게 말할 때는) 선형사상은 행렬과 완전히 같은 개념이다. 실제로 두 일차변환의 합성은 해당하는 행렬의 곱셈과 같다.
[2] 왜? \(\cdot\)은 원래 이름 그대로 dot product를 의미하기 때문이다. 이는 Euclidean 혹은 Cartesian space에서는 inner product, 즉 내적에 대응한다.
[3] R cube라고 읽으면 된다.