2015년도 KMO 고등부 수행평가

※ 아래 문제는 유형 나의 문제를 digitizing해 놓은 것임을 밝힙니다.
  1. 다음 세 조건을 모두 만족시키는 순서쌍 \((a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{10})\)의 개수를 구하여라.
    1. \(a_{i} \in \{1, 2, 3\}\quad(i=1, 2, \cdots, 10)\)
    2. \(i=1, 3, 5, 7, 9\)이면 \(a_{i} < a_{i + 1}\)
    3. \(i=2, 4, 6, 8\)이면 \(a_{i} > a_{i + 1}\)

  2. 실계수 \(5\)차 다항식 \(f(x)\)의 모든 계수가 \(0\) 이상이다. \(f(x)\)가 다음 두 조건을 모두 만족할 때 \(\frac{f(3)}{f(2)}\)에 가장 가까운 정수를 구하여라.
    1. \(x \neq 0\)인 모든 \(x\)에 대하여 \(f(x)=x^6f\left(\frac{1}{x}\right)\)
    2. \(f(2)=10f(1)\)

  3. 양의 정수 \(m\), \(n\)이 다음 조건을 만족할 때 \(m+n\)의 값 중 가장 작은 것을 구하여라.
    \(k^{3} - mk^{2} - nk + 2015 = 0\)을 만족하는 양의 정수 \(k\)가 존재한다.
  4. 선분 \(AB\)를 지름으로 하는 반원의 호 위에 점 \(C\)를 잡고, 선분 \(BC\)의 중점을 \(M\)이라 하자. 어떤 원이 선분 \(BC\)와 점 \(M\)에서 접하고, 호 \(BC\)와 점 \(D\)에서 접한다. 선분 \(AD\)와 \(BC\)의 교점을 \(E\)라 하자. \(\overline{AB}=20\), \(\overline{AC}=5\)일 때 \(\overline{CE}^{2}\)의 값을 구하여라.

  5. 다음 조건을 만족하는 모든 소수 \(p\)의 합을 구하여라.
    \(p^{4} + 119\)의 양의 약수의 개수가 \(20\) 이하이다.
  6. 다음 세 조건을 모두 만족하는 양의 정수 \(x_{1}\), \(x_{2}\), \(x_{3}\), \(x_{4}\), \(x_{5}\)의 순서쌍 \((x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5})\)의 개수를 구하여라.
    1. \(x_{1}=x_{5}\)
    2. \(x_{i}\neq x_{i+1}\quad(i=1, 2, 3, 4)\)
    3. \(x_{i} + x_{i+1} \leq 6\quad(i=1, 2, 3, 4)\)
  7. 다음 식을 소수 \(2017\)로 나눈 나머지가 \(1\)이 되게 하는 양의 정수 \(n\) 중 가장 작은 것을 구하여라.\[\sum_{k=2}^{2015}(-1)^{k}\begin{pmatrix}{2015\\k}\end{pmatrix}\left(n\cdot k^{2015} - 1\right)\]
  8. 삼각형 \(ABC\)에서 \(\overline{AB} = 5\), \(\overline{BC} = 12\), \(\overline{CA} = 13\)이다. 점 \(P\)가 평면을 움직일 때\[5\overline{PA}\cdot\overline{PB} + 12\overline{PB}\cdot\overline{PC} + 13\overline{PC}\cdot\overline{PA}\]의 값 중 가장 작은 것을 구하여라.

  9. 함수 \(f: \{1, 2, 3, 4, 5\} \rightarrow \{1, 2, 3, 4, 5\}\) 중 다음 조건을 만족하는 것의 개수를 구하여라.\[f(k+1)\leq f(k)+1\quad(k=1, 2, 3, 4)\]

  10. 실수 \(x_{1}\), \(x_{2}\), \(\cdots\), \(x_{7}\)이\[\sum_{i=1}^{7}x_{i}=0,\quad\sum_{i=1}^{7}\left|x_{i}\right|=1\]을 만족할 때 \[\sum_{i=1}^{7}x_{i}\left|x_{i}\right|\]의 값 중 가장 큰 것을 \(\frac{p}{q}\)(단, \(p\), \(q\)는 서로소인 양의 정수)라 하자. \(p + q\)의 값을 구하여라.

  11. 양의 정수 \(n\)을 서로 다른 \(2\)개의 양의 정수를 각각 한 번 이상 사용하여 합으로 나타내는 방법의 수를 \(q(n)\)이라 하자. 이때 더하는 순서는 고려하지 않는다. 예를 들어 \(5\)는
    \(4 + 1\), \(3 + 2\), \(3 + 1 + 1\), \(2 + 2 + 1\), \(2 + 1 + 1 + 1\)
    으로 나타낼 수 있으므로 \(q(5)=5\)이다. \(100\) 이하의 양의 정수 \(n\) 중 다음 두 조건을 모두 만족하는 것의 개수를 구하여라.
    1. \(n\)을 \(4\)로 나눈 나머지는 \(3\)이다.
    2. \(q(n)\)은 짝수이다.

  12. 삼각형 \(ABC\)의 내접원 \(O\)와 방접원이 변 \(BC\)에 각각 점 \(D\)와 \(E\)에서 접한다. 선분 \(AE\)가 원 \(O\)와 두 점 \(P\), \(Q\)(\(\overline{AP} < \overline{AQ}\))에서 만나고 \(\overline{PQ}=40\), \(\overline{EQ} = 5\)이다. \(\overline{DQ}^{2}\)의 값을 구하여라.

  13. 십각형 \(A_{1}A_{2}\cdots A_{10}\)의 꼭짓점에 다음 두 조건을 모두 만족하도록 \(10\)개의 수 \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\), \(7\), \(8\), \(9\), \(10\)을 배치하는 방법의 수를 \(1000\)으로 나눈 나머지를 구하여라.
    1. 각 꼭짓점에 서로 다른 수를 하나씩 배치한다.
    2. 이웃한 두 꼭짓점에 배치된 두 수는 서로소이다.

  14. 각 \(B\)가 둔각인 삼각형 \(ABC\)의 수심과 외심을 각각 \(H\)와 \(O\)라 할 때, \(\overline{AO}=8\), \(\overline{AH}=12\)이다. 점 \(C\)에서 변 \(AB\)의 연장선 위에 내린 수선의 발을 \(D\), 점 \(B\)에서 변 \(AC\)에 내린 수선의 발을 \(E\)라 할 때, 세 점 \(D\), \(E\), \(O\)가 일직선 위에 있다. 선분 \(AE\) 위의 점 \(P\)가 \(\overline{EP} = \overline{EO}\)를 만족할 때 \(\overline{HP}^{2}\)의 값을 구하여라.

  15. 실수 \(a\), \(b\), \(c\)가 \(a^{3} + 2b^{3} + 4c^{3} = 6abc\)를 만족한다. \(0 \leq a \leq 1\)일 때 \(4bc - a^{2} - b - c\)의 값 중 가장 큰 것을 \(m\)이라 하자. \(32m\) 이하의 정수 중 가장 큰 것을 구하여라.

  16. 다음 조건을 만족하는 양의 정수 \(n\) 중 가장 작은 것을 구하여라.
    \(n^{4}+1\)이 \(274\)의 배수이다.
  17. 정수를 원소로 하는 집합 \(S\)에 대하여 \(S + 1\)을 집합 \(\{\left.k+1\right|k\in S\}\)라 하자. 집합 \(\{1, 2, 3, \cdots, 10\}\)의 공집합이 아닌 부분집합 \(K\) 중 \(K = S \cup (S + 1)\)을 만족하는 집합 \(S\)가 존재하는 것의 개수를 구하여라.

  18. 수열 \(\{a_{n}\}\)이 다음 두 조건을 모두 만족한다.
    1. \(a_{1}=a_{2}=a_{3}=1\)
    2. \(a_{n}a_{n-3}-a_{n-1}a_{n-2}=4^{n}\quad(n\geq 4)\)
    이때 \[\frac{a_{2016}+4a_{2014}}{a_{2015}}\]의 값을 구하여라.

  19. 다섯 개 이상의 양의 약수를 갖는 모든 양의 정수들의 집합을 \(S\)라 하자. 집합 \(S\)의 원소 \(n\) 중 다음 두 조건을 모두 만족하는 것들의 합을 \(1000\)으로 나눈 나머지를 구하여라.
    1. \(n < 2015\)
    2. \(n\)의 양의 약수 중 가장 작은 다섯 개를 \(1\), \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)(단, \(1 < a < b < c < d\))라고 할 때, \(n = 12ac + 7d^{2}\)이다.

  20. 삼각형 \(ABC\)(단, \(\angle B < \angle C\)의 변 \(AC\)의 삼등분점 중 점 \(C\)에 가까운 것을 \(D\), 점 \(A\)에 가까운 것을 \(E\)라 하자. 삼각형 \(BCE\)의 외접원과 변 \(AB\)의 교점을 \(F(\neq B)\)라 하면 \(\overline{AF} = 2\)이다. 직선 \(EF\)와 직선 \(BC\)의 교점을 \(K\), 직선 \(AK\)와 직선 \(BE\)의 교점을 \(L\), 직선 \(DL\)과 직선 \(BC\)의 교점을 \(M\)이라 하면 \(\overline{CM} = 1\)이다. 직선 \(DK\)가 변 \(AB\)의 중점을 지날 때 \(\overline{AK}^{2}\)의 값을 구하여라.