감마 함수
감마 함수는 다음과 같이 정의된다.\[\Gamma(x) := \int^{\infty}_{0}e^{-t}t^{x}\frac{\mathrm{d}t}{t}\]이상 적분improper integral이다. 다음과 같이 생각해도 무방하다:\[\lim_{r \rightarrow \infty} \int^{r}_{r^{-1}}e^{-t}t^{x}\frac{\mathrm{d}t}{t}\]\(\Gamma(1)\)을 간단하게 계산해 보자.\[\begin{align*}\Gamma(1) &= \int^{\infty}_{0}e^{-t}t^{1}\frac{\mathrm{d}t}{t}\\
&= \int^{\infty}_{0}e^{-t}\mathrm{d}t\\
&= \lim_{r \rightarrow \infty}\left.\left({-e^{-t}}\right)\right|^{r}_{0}\\
&= -\lim_{r \rightarrow \infty}{e^{-r}} - (-e^{-0})\\
&= 0 - (-1) = 1\\
\end{align*}\]또한, \(\Gamma(x+1)\)을 부분 적분으로 계산해 보면,\[\begin{align*}\Gamma(x+1) &= \int^{\infty}_{0}e^{-t}t^{x}\mathrm{d}t\\
&= \left.{-e^{-t}t^{x}}\right|^{\infty}_{0} - \int^{\infty}_{0}-e^{-t}\cdot xt^{x}\frac{\mathrm{d}t}{t}\\
&= x\int^{\infty}_{0}e^{-t}t^{x}\frac{\mathrm{d}t}{t}\\
&= x\Gamma(x)\\
\end{align*}\]위 두 성질에서, 자연수 \(n\)에 대해 수학적 귀납법을 사용하여 다음을 간단히 보일 수 있다.\[n! = \Gamma(n + 1)\]계산기 따위에서 팩토리얼이 임의의 실수에 대해 계산 가능한 것으로 여겨지기도 하는데, 사실 \(0.5!\)을 입력하면 \(\Gamma(1.5)\)를 계산하는 것이다.