2014년도 부산일과고 1학년 2학기 심화수학I 기말고사


1. 타원 \(\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1\) 밖의 한 점 \(P(t, 2)\)에서 그은 두 접선이 서로 수직일 때, \(t\)의 값은? (5.8점)

1) \(1\)
2) \(2\)
3) \(3\)
4) \(4\)
5) \(5\)

2. 좌표평면에서 점 \(P(2, 4)\)가 일차변환 \(f\)를 나타내는 행렬 \[\pmatrix{k\cos\theta&-k\sin\theta\\k\sin\theta&k\cos\theta}\]에 의하여 점 \(P'(8, 6)\)으로 옮겨질 때, \(k\tan\theta\)의 값은? (5.9점)

1) \(-\sqrt{5}/2\)
2) \(-1/2\)
3) \(1/2\)
4) \(\sqrt{5}/2\)
5) \(\sqrt{5}\)

3. 좌표공간에 평면 \(\alpha : 2x - 4y + 4z + 9 = 0\)과 두 점 \(O(0, 0, 0)\), \(A(3, 6, 9)\)가 있다. 평면 \(\alpha\) 위의 점 \(P\)에 대하여 \(\left|\overrightarrow{PO} + 2\overrightarrow{PA}\right|\)의 최솟값은? (6.0점)

1) \(13/2\)
2) \(15/2\)
3) \(17/2\)
4) \(19/2\)
5) \(21/2\)


4. 좌표공간에서 직선 \(l: 1-x = y+1 = z/2\)와 중심이 원점이고 반지름의 길이가 \(2\sqrt{11}\)인 구가 서로 다른 두 점 \(A\), \(B\)에서 만나고 있다. 구 위의 점 \(P\)에 대하여 \(\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AB} = \left|\overrightarrow{AB}\right|^{2}\)이고 점 \(B\)의 \(x\)좌표가 음수일 때, 점 \(P\)가 그리는 전체 도형의 둘레의 길이는? (6.1점)

1) \(\sqrt{3}\pi/3\)
2) \(2\sqrt{3}\pi/3\)
3) \(\sqrt{3}\pi\)
4) \(4\sqrt{3}\pi/3\)
5) \(5\sqrt{3}\pi/3\)

5. 다음에서 옳은 것은 모두 몇 개인가? (6.2점)
ㄱ. 두 점 \((1, 2)\), \((2, 4)\)를 각각 두 점 \((1, 1)\), \((2, 2)\)로 옮기는 일차변환의 역변환은 항상 존재한다.
ㄴ. 일차변환 \(f\)에 의하여 점 \(P(2, 1)\)이 점 \(P'(1, 1)\)로 옮겨진다. 일차변환 \(f\)의 역변환이 존재할 때, \(f\)의 역변환에 의하여 점 \(Q(2, 2)\)가 옮겨진 점 Q'의 좌표는 \(Q'(4, 2)\)이다.
ㄷ. 공간에서 원점을 중심으로 양의 \(y\)축에 관하여 점 \(P(-2, -1, 4)\)를 \(\pi/6\)만큼 반시계 방향으로 회전하여 옮겨진 점의 좌표는 \((-\sqrt{3}-2, -1, -1+2\sqrt{3})\)이다.
ㄹ. 좌표평면에서 직선 \(2x - 3y + 7 = 0\)이 행렬 \(\pmatrix{3&0\\0&3}\)에 의하여 옮겨지는 직선의 \(y\)절편은 \(7\)이다.
ㅁ. 직선 \(2x + y - 5 = 0\)이 일차변환 \(f\)를 나타내는 행렬 \(\pmatrix{-6&-3\\2&1}\)에 의하여 직선 \(y = -x/3\)으로 옮겨진다.

1) \(1\)개
2) \(2\)개
3) \(3\)개
4) \(4\)개
5) \(5\)개


[주1] 일차변환 \(f\)를 나타내는 행렬 \(A\)가 \(A = \pmatrix{1&-2\\-3&6}\)일 때, 일차변환 \(f\)에 의하여 곡선 \(9x^{2} + 4y^{2} = 36\)이 옮겨진 도형의 길이를 구하시오. (6.5점)

[주2] 공간에서 네 점 \(P(3, 0, 1)\), \(Q(7, 2, 5)\), \(R(5, 1, -1)\), \(S(0, 4, 2)\)를 꼭짓점으로 하는 사면체의 부피를 구하여라. (6.6점)

[주3] 좌표평면 위의 점 \(P\)와 행렬 \(\pmatrix{a+1&a-1\\6&a}\)로 나타내어지는 일차변환 \(f\)에 대하여 \(S(a)\)를 \(S(a) = \left\{P|f( P ) = O\right\}\)로 정의하고, 집합 \(S(a)\)가 무한집합이 되도록 하는 실수 \(\alpha\), \(\beta\)에 대하여 \(S(\alpha)\)가 나타내는 직선을 \(l_{1}\), \(S(\beta)\)가 나타내는 직선을 \(l_{2}\)라 하자. 직선 \(l_{1}\)과 \(l_{2}\)가 만나 이루는 예각을 \(\theta\)라 할 때, \(\sin\theta\)의 값을 구하여라.


[주4] 다음은 포물선의 성질을 보이는 과정이다.
포물선 \(y^{2}=2x\)의 초점의 좌표는 \(F(a, 0)\)이며 포물선 위의 점 \(P(2, 2)\)에서 축에 내린 수선의 발 중 \(x\)축에 내린 것을 \(A\), \(y\)축에 내린 것을 \(B\), 점 \(P\)에서 포물선의 접선 \(l\)이 축과 만나는 점을 \(C\)라 하자. \(\phi = \angle{PFA}\), \(\alpha = \angle{FPC}\), \(\beta = \angle{CPB}\)에 대하여 \(\tan\beta = b\), \(\tan\phi = c\), \(\tan\alpha = \tan(\phi-\beta) = e/(1+d)=f\)
\(a + b + c + d + e + f\)의 값을 구하여라. (6.8점) (!)

[주5] 좌표평면에서 원점을 지나고 \(x\)축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 \(\pi/12\)인 직선 \(l\)이 주어져 있다. 일차변환 \(f\)를 직선 \(l\)에 대한 대칭변환이라고 할 때, 점 \((4, 8)\)이 일차변환 \(f\)에 의하여 옮겨지는 점의 좌표를 구하시오. (6.9점)

[주6] 포물선 \(y^{2} = x\)의 초점 \(F\)를 지나는 직선 \(l\)과 이 포물선이 만나는 두 점을 \(A\), \(B\)라 하자. \(A\)는 제\(1\)사분면에 있다. \(\overline{AF} : \overline{BF} = 9 : 4\)일 때 직선 \(l\)의 방정식은 \(ax + by = 3\)이다. \(a + b\)의 값을 구하여라. (7.1점)


[주7] 쌍곡선 \(x^{2}/12-y^{2}/8=1\)과 직선 \(y = x/2 + k\)가 서로 다른 두 점 \(P\), \(Q\)에서 만날 때, 선분 \(PQ\)의 중점 \(R(x, y)\)이 그리는 자취의 방정식은 \(y = ax + b\)이다 . \(a - b\)의 값을 구하여라. (7.2점)

[주8] 쌍곡선 \(4x^{2}-y^{2}=4\) 위의 임의의 점 \(P\)를 지나고, 점 \(P\)에서의 접선에 수직인 직선이 \(x\)축과 만나는 점을 \(Q\)라 할 때, 선분 \(PQ\)를 \(3 : 1\)로 내분하는 점 \(R(x, y)\)이 그리는 자취의 방정식은 \(mx^{2} + ny^{2} = 16\)이 된다. \(m + n\)의 값을 구하여라. (7.3점) (!)

[주9] 반지름의 길이가 \(2\)인 원 위의 서로 다른 세 점 \(A\), \(B\), \(C\)에 대하여 \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\)의 최솟값을 구하여라. (7.4점)

[주10] 좌표공간에서 중심이 모두 직선 \(l: (x - 1)/3 = (y - 2)/4 = (z - 3)/5\) 위에 있고 반지름의 길이가 \(4\)인 두 개의 구가 서로 외접하고 있다. 두 구의 평면 \(\alpha : x - 7y - 10z = 0\) 위로의 정사영의 넓이를 구하여라. (단, 두 구는 모두 평면 \(\alpha\)와 만나지 않는다.) (7.5점)