algebraic numbers
우리는 어떤 수가 초월수라는 개념을 학교에서 많이 들어 왔다.
여기서 초월수transcendental number란 정확히 어떻게 정의되는 개념인가?
여기서는 field \(\mathbb{C}\) 내의 정확히 반대 개념인 algebraic number를 살펴본다.
정의 1. \(n\)-개의 복소수 \(z_{1}, z_{2}, \cdots, z_{n}\)에 대해 \(P(x) : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}\)가 \[P(x) := \prod_{k=1}^{n}(x+z_{k}) = (x + z_{1})(x + z_{2})\cdots(x + z_{n})\]일 때, 자연수 \(k\)에 대해 \(z_{1}, z_{2}, \cdots, z_{n}\)에 관한 다항식 \(\sigma_{k, n}\)을 \[\sigma_{k, n}(z_{1}, z_{2}, \cdots, z_{n}) := \frac{P^{(n-k)}(0)}{(n-k)!} = \frac{1}{(n-k)!}\left(\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\right)^{n-k}P\right)(0)\]과 같이 정의하고, \(\sigma_{k, n}\)들을 elementary symmetric polynomial이라고 한다. 또 \(n\)-개의 복소수 \(z_{1}, z_{2}, \cdots, z_{n}\)이 고정될 때, \[\sigma_{k, n} \in \mathbb{Q},\quad (k=1, 2, \cdots, n)\]이면 \(z_{1}, z_{2}, \cdots, z_{n}\) 각각을 algebraic number라고 한다.
정의 1에서 elementary symmetric polynomial을 비직관적으로 정의하였다는 것을 확인할 수 있다(직관적인 정의는 \[\sigma_{k, n}(z_{1}, z_{2}, \cdots, z_{n}) = \sum_{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots<i_{k}\leq n}{z_{i_{1}}z_{i_{2}}\cdots z_{i_{k}}}\]이다. 두 식이 같다는 것을 증명해 보라.).
이것은 우리가 elementary symmetric polynomial을 오직 그 root에만 관심이 있는 꼴로 정의하여,
algebraic number를 알아보는 데 불필요한 증명을 줄이기 위함이다.
또한, algebraic number도 비직관적으로 정의하였는데,
직관적인 정의는 [모든 계수가 유리수인 다항함수의 근]이다.[1][2]
이렇게 되면 transcendental number의 정의가 너무나도 간단해진다:
\(z \in \mathbb{C}\)가 algebraic number가 아니면 transcendental number가 되는 것이다.
[1] 원래 개떡같이 정의되어 있어도 찰떡같이 알아들어야 하는 게 수학이다. 그런 능력을 mathematical maturity라고 한다.
[2] \(n\)-개의 복소수가 고정되어 있을 때 \(\sigma_{k, n}\)은 \(\left(-z_{n}\right)\)들을 근으로 갖는 monic 다항식의 \((n-k)\)번째 계수이다. 이것이 모든 \(k = 1, 2, \cdots, n\)에 대해 유리수이(고 최고차항도 \(1\)로 유리수이)므로, 결국 [모든 계수가 유리수인 다항함수의 근]이 나오게 된다.