\(\sum_{k=1}^{n}{k^a}\)의 특성

우리는 고등학교 1학년(개정 前 고등학교 2학년)에 수열의 합에 대해 학습하면서 \[\sum_{k=1}^{n}{k^a}\]에서 \(a=1\), \(a=2\)와 \(a=3\)인 경우 이것을 \(n\)에 관한 간단한 식으로 나타내는 방법을 학습하였다.
이제 우리는 이것을 조금 더 심도 깊이 생각해 보도록 하자.
먼저, 다음과 같은 Lemma를 생각한다:
Lemma. 차수가 \(n\) 이하이고, 서로 다른 \(n+1\)개의 실수 \(a_0, a_1, \cdots, a_n\)에 대해 \[f(a_{k})=b_k\](\(k=0, 1, \cdots, n\), \(b_k\)는 실수)를 만족하는 다항함수 \(f(x)\)는 오직 한 개 존재한다.

증명. 수학적 귀납법을 통해 증명한다.
\(n=1\)인 경우, 서로 다른 두 실수 \(a_0, a_1\)에 대해 \[f(x)=\frac{b_{1} - b_{0}}{a_{1} - a_{0}}(x - a_{0}) + b_{0}\]로 두면(\(a_{1} - a_{0} \neq 0\)이므로 잘 정의well-define된다) 이 다항함수는 유일하고, 또한 성립한다.
\(n=k\)인 경우, 성립한다고 하자. 이 유일한 다항함수를 \(f_{k}(x)\)라고 한다.
(존재성) 이제\[\begin{align*}f_{k+1}(x) :\!&= f_{k}(x) + b_{k+1}\cdot\prod_{i=0}^{k}\frac{x-a_{i}}{a_{k+1}-a_{i}}\\ &= f_{k}(x) + b_{k+1}\cdot\frac{(x-a_{0})(x-a_{1})\cdots(x-a_{k})}{(a_{k+1}-a_{0})(a_{k+1}-a_{1})\cdots(a_{k+1}-a_{k})}\\ \end{align*}\]로 두면 \(f_{k+1}(x)\)는 \((k+1)\)차 이하이므로, \(f(x) := f_{k+1}(x)\)로 두면 성립한다.
(유일성) 이 조건을 만족하는 \(n=k+1\)에서의 다항함수가 \(f(x)\)와 \(g(x)\)라고 하자. 그러면 어떤 \(k\)차 이하 다항함수 \(Q_{1}\), \(Q_{2}\)에 대해\[\begin{align*}f(x) &= (x-a_{k+1})Q_{1}(x) + b_{k+1}\\ g(x) &= (x-a_{k+1})Q_{2}(x) + b_{k+1}\\ \end{align*}\]이다. 그런데 양변에 \(a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n}\)을 대입하면\[Q_{1}(a_{i}) = Q_{2}(a_{i}) = \frac{b_{i} - b_{k + 1}}{a_{i} - a_{k+1}}\]
(\(i=0, 1, \cdots, k\))임을 알 수 있으므로, \(Q_{1} = Q_{2}\)이다. 따라서 \(f = g\)이다. \(\quad\square\)