삼각함수
삼각함수는 다음과 같이 정의된다.
원 \(x^2 + y^2 = 1\) 위의 점 \(P(x, y)\)와 점 \(A(1, 0)\)을 이은 반시계 방향으로의 호의 길이음수가 될 수 있다를 \(\theta\)라 할 때,\[\cos \theta = x\\ \sin \theta = y\]라 정의한다. 또한 여기서 \[\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta},\quad\quad \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}\\ \csc \theta = \frac{1}{\sin \theta},\quad\quad \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}\]라고 정의한다.
여기에서 생각할 수 있는 재밌는 것은 세 가지다:
- 보통 \(\theta\)를 각으로 잡는데 길이로 잡았다는 것은 약간 이례적이다. 그런데 호의 길이와 각의 크기는 비례하므로,
그 비례 상수를 \(1\)로 생각한다면 길이와 똑같은 단위에 대응되는 각의 크기를 생각할 수 있다. 이를 호도법이라 한다.
단위는 보통 사용하지 않으나 60분법과 확실한 구분이 필요할 때는 \(\operatorname{rad}\)를 쓴다.
반지름이 \(1\)인 원의 둘레의 반이 \(\pi\)이므로, \(180^{\circ} = \pi \operatorname{rad}\)가 된다.
이런 관점에서, 길이 \(\theta\)를 호도법 각 \(\theta\)로 바꾸어 생각해도 괜찮겠다.
- \(x^2 + y^2 = 1\)에서 \(\cos \theta = x, \sin \theta = y\)가 유도되므로 대입하여 \(\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1\)을 얻는다.
그런데 \(\sin \theta\), \(\cos \theta\)가 모두 실수이므로 \(-1 \le \sin \theta \le 1\), \(-1 \le \cos \theta \le 1\)을 얻는다.
- 원은 상하 대칭이므로 \(\sin (-x) = -\sin x\)라고 할 수 있다. 마찬가지로 \(\cos (-x) = \cos x\)이다.
여기서 \(\cos x\)는 우함수, \(\sin x\)는 기함수이다.
이제, 원 \(x^2 + y^2 = 1\) 위의 두 점 \(A\), \(B\)에 대해 반시계 방향으로의 호의 길이를 각각 \(a\), \(b\)라 한다. \(B\)를 기준으로 하여 반시계 방향으로 \(a\)만큼 이동한 점을 \(C\)라 한다. 여기서 \(P(1, 0)\)에 대해 \(\angle POB = \angle AOC\)에서 \[\begin{align*}
\overline{PB} &= \overline{AC}\\
\overline{PB}^{2} &= \overline{AC}^{2}\\
(\cos(a + b) - 1)^{2} + \sin^{2} (a + b) &= (\cos(2a + b) - \cos a)^{2} + (\sin (2a + b) - \sin a)^{2}\\
\cos^{2} (a + b) - 2\cos (a + b) + 1 + \sin^{2} (a + b) &= \cos^{2} a - 2\cos a \cos b + \cos^{2} b + \sin^{2} a + 2\sin a \sin b + \sin^{2} b\\(x := 2a + b &,\quad y := -a)\\
-2 \cos(x + y) &= -2 \cos x \cos y + 2 \sin x \sin y\\
\therefore \cos (x + y) &= \cos x \cos y - \sin x \sin y
\end{align*}\]
를 얻는다. 여기서 \(\cos (\pi / 2) = 0, \sin (\pi / 2) = 1\)이므로, \[\cos \left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos \frac{\pi}{2} \cos (-x) - \sin \frac{\pi}{2} \sin (-x) = - \sin (-x) = \sin x\]이다. \(x := \pi / 2 - x\)를 대입하면 바로 \(\cos x = \sin (\pi/2 - x)\)가 유도된다. 이 두 식에서
\[\begin{align*}
\sin (x + y) &= \cos\left(\left(\frac{\pi}{2} - x\right) - y\right)\\
&= \cos \left(\frac{\pi}{2} - x\right) \cos y + \sin \left(\frac{\pi}{2} - x\right) \sin y\\
&= \sin x \cos y + \cos x \sin y
\end{align*}\]이다. 그리고 \(\tan \theta\)의 정의에서\[\begin{align*}
\tan (x + y) &= \frac{\sin(x + y)}{\cos(x + y)}\\
&= \frac{\sin x \cos y + \cos x \sin y}{\cos x \cos y - \sin x \sin y}\\
&= \frac{\frac{\sin x \cos y + \cos x \sin y}{\cos x \cos y}}{\frac{\cos x \cos y - \sin x \sin y}{\cos x \cos y}}\\
&= \frac{\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\sin y}{\cos y}}{1 - \frac{\sin x}{\cos x}\cdot \frac{\sin y}{\cos y}}\\
&= \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}
\end{align*}\]이 성립함을 알 수 있다. 이상을 정리하면 다음과 같다(삼각함수의 덧셈 정리):
\[\begin{align*}
\cos(x \pm y) &= \cos x \cos y \mp \sin x \sin y\\
\sin(x \pm y) &= \sin x \cos y \pm \cos x \sin y\\
\tan(x \pm y) &= \frac{\tan x \pm \tan y}{1 \mp \tan x \tan y}
\end{align*}\]
예제 다음을 계산하여라.\[\sin\left(\frac{5}{12}\pi\right)\]
풀이\[\begin{align*}
\sin \left(\frac{5}{12}\pi\right) &= \sin \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}\right)\\
&= \sin \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{6} + \cos \frac{\pi}{4} \sin \frac{\pi}{6}\\
&= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}\\
&= \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\quad\square
\end{align*}\]
삼각함수의 덧셈 공식에 \(y := x\)를 대입하여 다음의 결과를 얻는다(두배각 공식):
\[\begin{align*}\sin 2x &= 2 \sin x \cos x \\
\cos 2x &= \cos^{2} x - \sin^{2} x = 2\cos^{2} x - 1 = 1 - 2\sin^{2} x\\
\tan 2x &= \frac{2 \tan x}{1 - \tan^{2} x}\end{align*}\]
\(\cos\)의 두배각 공식에 \(x := x/2\)를 대입하고, 식을 정리하면
\[\begin{align*}\sin^{2} \frac{x}{2} &= \frac{1 - \cos {x}}{2} \\
\cos^{2} \frac{x}{2} &= \frac{1 + \cos {x}}{2}\\
\tan^{2} \frac{x}{2} &= \frac{\sin^{2} (x/2)}{\cos^{2} (x/2)} = \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}\end{align*}\]
와 같은 결과(반각 공식)를 얻는다.
예제 다음을 계산하여라.\[\tan\frac{\pi}{8}\]
풀이 \(0 < x < \pi/2\)일 때 \(\cos x\)와 \(\sin x\)는 모두 양수이므로 이 때 \(\tan x\)도 양수이다. 따라서\[\begin{align*}
\tan\frac{\pi}{8} &= \sqrt{\tan^{2}\frac{\pi}{8}}\\
&= \sqrt{\frac{1 - \cos (\pi/4)}{1 + \cos (\pi / 4)}}\\
&= \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}}\\
&= \sqrt{3 - 2\sqrt{2}} = \sqrt{2} - 1\quad\square
\end{align*}\]
\(\sin(x + y)\)와 \(\sin(x - y)\)가 가운데 부호만 다르다는 점에 주목하자. 두 식을 더하면\[\begin{align*}
\sin (x + y) + \sin (x - y) &= \sin x \cos y + \cos x \sin y + \sin x \cos y - \cos x \sin y\\&=2 \sin x \cos y\\
\frac{1}{2}\left(\sin(x + y) + \sin (x - y)\right) &= \sin x \cos y
\end{align*}\]
마찬가지로 \(\cos\)도 해 주면, \[\begin{align*}
\cos (x + y) + \cos (x - y) &= \cos x \cos y - \sin x \sin y + \cos x \cos y + \sin x \sin y\\&=2 \cos x \cos y\\
\frac{1}{2}\left(\cos(x + y) + \cos (x - y)\right) &= \cos x \cos y
\end{align*}\]
\(\cos\)의 경우에는 빼는 경우도 계산해 보자. \[\begin{align*}
\cos (x + y) - \cos (x - y) &= \cos x \cos y - \sin x \sin y - \cos x \cos y - \sin x \sin y\\&=-2 \sin x \sin y\\
-\frac{1}{2}\left(\cos(x + y) - \cos (x - y)\right) &= \sin x \sin y
\end{align*}\]
위의 결과만을 한데 모아 다음과 같이 쓸 수 있다(곱을 합 또는 차로 바꾸는 공식):
\[\begin{align*}
\sin x \sin y & =-\frac{1}{2}\left(\cos(x + y) - \cos(x - y)\right)\\
\sin x \cos y & = \frac{1}{2}\left(\sin(x + y) + \sin(x - y)\right)\\
\cos x \sin y & = \frac{1}{2}\left(\sin(x + y) - \sin(x - y)\right)\\
\cos x \cos y & = \frac{1}{2}\left(\cos(x + y) + \cos(x - y)\right)
\end{align*}\]
이제 비슷하게, \(\sin (a + b)\)와 \(\sin (a - b)\)를 더하는데, \(x := a + b,\ y:= a - b\)라고 하면, 다음과 같이 쓸 수 있다:
\[\begin{align*}
\sin x + \sin y &= \sin a \cos b + \cos a \sin b + \sin a \cos b - \cos a \sin b\\
&= 2 \sin a \cos b\\
&= 2 \sin \frac{x + y}{2} \cos \frac{x - y}{2}
\end{align*}\]
이 식에서 \(y := -y\)를 대입하면,
\[\begin{align*}
\sin x - \sin y &= 2 \sin \frac{x - y}{2} \cos \frac {x + y}{2}\\
&= 2\cos \frac{x + y}{2} \sin \frac{x - y}{2}
\end{align*}\]
가 된다. \(\cos\)도 마찬가지로 계산해 보자.
\[\begin{align*}
\cos x + \cos y &= \cos a \cos b - \sin a \sin b + \cos a \cos b + \sin a \sin b\\
&= 2 \cos a \cos b\\
&= 2 \cos \frac{x + y}{2} \cos \frac{x - y}{2}\\\\
\cos x - \cos y &= \cos a \cos b - \sin a \sin b - \cos a \cos b - \sin a \sin b\\
&= -2 \sin a \sin b\\
&= -2 \sin \frac{x + y}{2} \sin \frac{x - y}{2}
\end{align*}\]
다시 쓰면 다음과 같이 된다(합 또는 차를 곱으로 바꾸는 공식): \[\begin{align*}
\sin x + \sin y &= 2 \sin \frac{x + y}{2} \cos \frac{x - y}{2}\\
\sin x - \sin y &= 2\cos \frac{x + y}{2} \sin \frac{x - y}{2}\\
\cos x + \cos y &= 2 \cos \frac{x + y}{2} \cos \frac{x - y}{2}\\
\cos x - \cos y &= -2 \sin \frac{x + y}{2} \sin \frac{x - y}{2}
\end{align*}\]
이상의 공식들을 정리하면 다음과 같다:
(\(\sin\)-\(\cos\) 변환 공식)\[\begin{align*}
\sin x &= \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)\\
\cos x &= \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)\end{align*}
\]
(덧셈 정리)\[\begin{align*}
\cos(x \pm y) &= \cos x \cos y \mp \sin x \sin y\\
\sin(x \pm y) &= \sin x \cos y \pm \cos x \sin y\\
\tan(x \pm y) &= \frac{\tan x \pm \tan y}{1 \mp \tan x \tan y}
\end{align*}\]
(두배각 공식)\[\begin{align*}\sin 2x &= 2 \sin x \cos x \\
\cos 2x &= 2\cos^{2} x - 1\\
\tan 2x &= \frac{2 \tan x}{1 - \tan^{2} x}\end{align*}\]
(반각 공식)\[\begin{align*}\sin^{2} \frac{x}{2} &= \frac{1 - \cos {x}}{2} \\
\cos^{2} \frac{x}{2} &= \frac{1 + \cos {x}}{2}\\
\tan^{2} \frac{x}{2} &= \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}\end{align*}\]
(곱을 합 또는 차로 바꾸는 공식)\[\begin{align*}
\sin x \sin y & =-\frac{1}{2}\left(\cos(x + y) - \cos(x - y)\right)\\
\sin x \cos y & = \frac{1}{2}\left(\sin(x + y) + \sin(x - y)\right)\\
\cos x \sin y & = \frac{1}{2}\left(\sin(x + y) - \sin(x - y)\right)\\
\cos x \cos y & = \frac{1}{2}\left(\cos(x + y) + \cos(x - y)\right)
\end{align*}\]
(합 또는 차를 곱으로 바꾸는 공식)\[\begin{align*}
\sin x + \sin y &= 2 \sin \frac{x + y}{2} \cos \frac{x - y}{2}\\
\sin x - \sin y &= 2\cos \frac{x + y}{2} \sin \frac{x - y}{2}\\
\cos x + \cos y &= 2 \cos \frac{x + y}{2} \cos \frac{x - y}{2}\\
\cos x - \cos y &= -2 \sin \frac{x + y}{2} \sin \frac{x - y}{2}
\end{align*}\]
이들을 응용하여 여러 가지 계산을 할 수 있다.
문제 다음을 계산하여라. \[\sin\frac{\pi}{9}\sin\frac{2\pi}{9}\sin\frac{4\pi}{9}\]