2014년도 교내 수학 경시

문제

  1. \(\left\lceil x\right\rceil - \left\lfloor x\right\rfloor = 0\)을 만족하는 \(x\)를 구하세요.
  2. \(abc + ab + bc + ac + a + b + c = 29\)를 만족하는 자연수 \(a\), \(b\), \(c\)에 대해 \(a + b + c\)는?
  3. 다음 식의 값이 자연수가 되게 하는 자연수 \(n\)의 값의 합을 구하세요.\[\frac{n^{2} - 2n + 15}{n + 3}\]
  4. \(1\)부터 \(10\)까지의 숫자[1]가 적힌 카드가 네 장씩 총 마흔 장이 있습니다. 이 카드를 모두 주머니에 넣고, 카드를 세 장 뽑아 그 합이 \(7\), \(17\), \(27\)이면 카드를 버리고, 아니면 카드를 다시 주머니에 넣습니다. 이 시행을 반복하여 한 장의 카드가 남았을 때, 남은 카드에 적힌 번호를 구하세요.
  5. 각 변의 길이가 모두 정수인 직각삼각형의 넓이와 둘레가 같을 때, 세 변의 길이를 구하세요.
  6. WolframAlpha\(2002^{2004}\)을 \(2003\)으로 나눈 나머지를 구하세요.
  7. WolframAlpha\(x + x^{-1} = 1\)이 성립할 때, 다음 식의 값을 구하세요. \[x^{10} + \frac{1}{x^{10}}\]
  8. \(17p + 1\)이 제곱수일 때, 소수 \(p\)의 값을 모두 구하세요.

[1] 숫자는 한 자리 수만을 얘기하므로, 여기서는 수라고 하는 것이 옳다. 하지만 문맥을 파악해 보면 문제를 푸는 데는 아무런 지장이 없으므로 넘어가기로 한다.

분석

주의! 이 문단은 일관성이 없고 제멋대로인 분석이니 너무 맹신하지 마세요.
  1. 수학적인 표현에 대한 충분한 이해를 하고 있는가를 묻는 문제였다.
    생소할지도 모르는 \(\left\lfloor x\right\rfloor\), \(\left\lceil x\right\rceil\)[1]가 등장했는데, 위쪽에 서술된 문제에는 그 설명이 없지만 대회 당시에는 이 함수들에 대한 충분한 설명이 있는 상태여서 무리이지는 않았다.
    배점이 정확하게 기억나지는 않지만 10점이었던 것 같다. 만약 정말로 그렇다면 문제의 개수를 고려해 보았을 때 점수는 적절하다고 생각한다.
    아쉽다고 생각하는 점은 원래의 정의에서 사용된 크지 않은과 작지 않은 대신에 작거나 같은과 크거나 같은으로 쉬운 말로 풀이되어 나왔다는 점이다.[2]
  2. 기초 정수론에 관한 문제였다.
    산술의 기본 정리를 알고 있는가, 복잡하게 보이는 식의 인수분해를 할 수 있는가, 자연수의 범위를 정확히 알고 있는가 등을 묻는 문제였다.
    평이한 난이도였다. 응시자 중 한 사람이 문제를 눈으로 훑고 \((a, b, c) = (1, 2, 4)\)쌍을 바로 찾았다고 한다.
    좀 더 엄밀하게 접근한다면, \(a\), \(b\), \(c\)의 값을 정확히 알 수 없으므로 이걸 알아차린 사람들은 쉽게 풀 수 있었다고 사료된다.[3]
    배점은 12점인 것 같으며 적절하다고 생각한다.
  3. 난이도가 비교적 어려운 정수론 문제였다.
    이 문제가 고등학교 1학년 학생들을 대상으로 했던 문제이다.
    개정 교과과정에 의해 현재 고1들은 다항식의 나눗셈을 배우고 있으며, 이를 고려할 때 난이도는 전체 문제 중에서 그렇게 어려운 난이도는 아니었다.
    하지만 동시에 실수를 유도했던 문제이기도 했다. 응시자 중 한 사람이 분자의 상수항의 부호를 잘못 보아 식을 \(n - 5\)로 정리해 "\(\infty\)로 발산"이라는 답을 썼다고 한다.
    배점은 14점이었던 것 같다.
  4. 문제를 얼마나 단순화해 풀 수 있는가를 묻는 문제였다.
    이 문제의 경우 일의 자리의 숫자 이외에는 조건이 필요치 않다. 문제에서 주어진 합의 수도 일의 자리 숫자가 일관되게 주어져 있다.
    문제의 특성상 시뮬레이션은 높은 점수를 받을 수 없을 것 같다.
    아쉬웠던 점은 문제 본문에 나와있던 "\(1\)부터 \(10\)까지의 숫자"라는 표현이었다.[4]
    일의 자리 숫자라는 포인트만 파악하면 쉽게 풀리는 문제였던 것에 비해 배점은 높았던 것으로 생각한다. (정확한 배점은 기억나지 않는다.)
  5. 엄밀한 풀이를 적기가 어려웠던, 두 번째로 어려웠던 문제였던 것으로 생각한다.
    엄밀한 풀이를 적기가 어려웠으며, 대부분의 응시자들이 작은 피타고라스 쌍들을 대입하여 문제를 풀었다.
    답의 수가 계산하기에 충분히 작았기 때문에 \((3, 4, 5)\), \((5, 12, 13)\), \((6, 8, 10)\), \((7, 24, 25)\), \((8, 15, 17)\)의 다섯 쌍만을 대입해서 푼 응시자가 실제로 있었다.
    엄밀한 풀이를 보았을 때는 이 문제도 궁극적으로 정수론으로 볼 수 있을 것 같다.
    배점이 상당히 높았던 것으로 기억하며, 엄밀한 풀이가 적히기 어려웠기 때문에 이는 정확한 배점 측정이라고 생각한다.
  6. 교과과정 내의 문제였다.
    창의성을 요구한 문제는 아니었으며, 0점 방지용 문제였던 것으로 사료된다.
    문제 자체의 난이도는 상당히 어려우나, 현 고1 교과과정에 출제되는 문제이기 때문이다.
    배점도 이러한 상황을 고려한 것인지 12점으로 측정되었다. 실제로는 1번보다 쉬웠을 수도 있었으나, 12점이라면 괜찮다고 생각한다.
    교과과정 외의 것을 자유롭게 쓸 수 있다면 modular 산(算)[5]을 이용해 한 줄 안에 풀이를 적을 수 있는 문제이다.
  7. 교과과정 내의 문제였다.
    실제로 규칙을 파악하게 하는 것을 목적으로 했다면 \(10000\)승과 \(-10000\)승 정도로 주어져야 한다고 생각한다.
    그럼에도 불구하고 실수를 저지를 가능성이 다분한 문제였다.
    교과과정 외에서는 수열을 이용해서 확장할 수 있으며, 실제로 \(a_{n} = x^{n} + x^{-n}\)일 때 \(a_{n} = 2 \cos \left(n\pi / 3\right)\)[6]으로 계산할 수 있고,
    이것이 6-주기 함수임을 발견하고 문제를 푼 응시자도 실제로 있었다. 배점은 기억나지 않는다.
  8. 가장 어려웠던 문제이다.
    정수론이다. 무턱대고 \(17p + 1 = m^{2}\)으로 잡아도 모든 게 해결되는 문제였으나, 이를 발견하고 계산하기는 꽤 어려웠던 문제였다.
    배점이 기억나지 않는다. 이 문제를 5분 남기고 풀기 시작해서 문제도 저게 맞는지 모르겠다.
    더 이상의 자세한 설명은 생략한다.
전체적으로 기하 문제가 한 문제밖에 없었고, 그것도 궁극적인 기하라고 할 수 없는 문제였다는 것과, 조합이나 확률에 관한 문제가 한 문제도 없었다는 점 등이 약간 실망이었다.
하지만 그에 비해 정수론에서 많은 좋은 문제들이 나왔다. 이럴 줄 알았으면 시간 좀 절약하게 정수론을 볼 걸.
아래쪽에 풀이의 개략이 있다.

[1] 바닥 함수와 천장 함수라고 부른다. 가우스 함수라는 표현은 잘못되었다고 생각한다[7]. 설명은 여기에 자세히 나와 있다.
[2] 순서 공리에 따라 두 조건이 동치조건임은 자명하지만 원래 정의를 알기 때문에 찝찝하지 않을 수 없었다.
[3] 그 증거로 값을 구해야 하는 식은 1차 동차대칭식으로 주어진다.
[4] 왜 이상한 표현인지 모르겠다면 여기를 잘 읽어보자.
[5] 한국어식 표현인 '합동'이 정확한 번역이 아닌데다 마음에 들지 않아서 원어를 사용한다.
[6] 증명은 아래에 있다.
[7] 가우스 적분에 들어가는 함수를 생각하자.

풀이


1. 문제의 설명에 의해 \(\left\lfloor x\right\rfloor\)는 소수점 아래 자리를 버리는 것이고, \(\left\lceil x\right\rceil\)는 소수점 아래 자리를 올리는 것이다.
식을 변형하면 \(\left\lfloor x\right\rfloor = \left\lceil x\right\rceil\)이 되는데, 버림과 올림이 같으려면 소수부가 없어야 한다.
따라서 \(x\)로 가능한 것은 소수부가 없는 모든 정수가 된다.\(\quad\square\)


2. 식을 변형한다. \[ abc + ab + bc + ac + a + b + c = 29\\ ab(c + 1) + (b + a)c + (a + b) + c + 1 = 30\\ ab(c + 1) + (a + b)(c + 1) + (c + 1) = 30\\ (c + 1)\{ab + (a + b) + 1\} = 30\\ \{a(b + 1) + (b + 1)\}(c + 1) = 30\\ (a + 1)(b + 1)(c + 1) = 30 = 2\cdot 3\cdot 5 \] \(a, b, c \ge 1\)이고 \((a + 1), (b + 1), (c + 1) \ge 2\)이므로 \(\{a + 1, b + 1, c + 1\} = \{2, 3, 5\}\)이다.
이 두 집합이 같으므로 두 집합의 모든 원소의 합도 같다. \(\quad\therefore (a + 1) + (b + 1) + (c + 1) = 2 + 3 + 5 = 10\)
따라서 \(a + b + c = 7\)이다.\(\quad\square\)


3. 식을 변형한다. \[ \frac{n^{2} - 2n + 15}{n + 3} = \frac{(n + 3)(n - 5) + 30}{n + 3} = (n - 5) + \frac{30}{n + 3} \] 따라서 \(n + 3\)이 \(30\)의 약수여야 한다. \(n\)이 자연수이므로 \(n + 3 \ge 4\)에서 \(4\) 이상의 것만 고려하자.
  1. \(n + 3 = 5\)
    \(n = 2\)이며, 이를 원래 식에 대입하면 \(2 - 5 + \frac{30}{5} = 3\)이다. (가능)
  2. \(n + 3 = 6\)
    \(n = 3\)이며, 이를 원래 식에 대입하면 \(3 - 5 + \frac{30}{6} = 3\)이다. (가능)
  3. \(n + 3 \ge 8\)
    \(n - 5 \ge 0\)이며, 따라서 \(n - 5\)가 음이 아닌 정수이다. \(n + 3\)이 \(30\)의 약수라면 당연히 준 식은 자연수이다.
    \(n + 3\)으로 가능한 값은 \(10\), \(15\), \(30\)이 있으며, \(n\)으로 가능한 값은 \(7\), \(12\), \(27\)이 된다. (가능)
위의 모든 경우에서 \(n\)으로 가능한 값은 \(2\), \(3\), \(7\), \(12\), \(27\)이 되며, 이들의 합은 \(51\)이다. \(\quad\square\)


4. 최초에 모든 카드의 합은 \(\frac{10 \cdot 11}{2}\cdot 4 = 220\)이고,
세 개의 카드가 버려질 때 일의 자리에서 줄어드는 수는 \(7\)인데, 이를 열세 번 시행했으므로 맨 마지막에 남은 카드에 적힌 수의 일의 자리 숫자는 \(220 - 7 \cdot 13 = 129\)와 같은 \(9\)이다.
카드 중 일의 자리 숫자가 \(9\)인 카드는 \(9\)밖에 없으므로, 맨 마지막에 남는 카드는 \(9\)일 수밖에 없다. \(\quad\square\)


5. 빗변을 \(c\), 빗변이 아닌 두 변을 \(a\), \(b\), 내접원의 반지름의 길이를 \(r\)이라 하자.
둘레와 넓이\(r\)을 이용한가 같다는 조건에 따라, \[\frac{1}{2}r\left(a+b+c\right) = a+b+c\] 이고, \(a, b, c > 0\)이므로 \(a + b + c \not = 0\)에서 \(r = 2\)이다. 여기까지의 과정을 그림으로 그리면 다음과 같다.

그림은 클릭하면 크게 볼 수 있습니다.


따라서 \(c = a + b - 4\)를 얻는다.
이제, 다시 둘레와 넓이밑변×높이÷\(2\)가 같다는 조건에 따라 \[\frac{1}{2}ab = a + b + c\\ ab = 2a + 2b + 2\left(a + b - 4\right)\\ ab = 2a + 2b + 2a + 2b - 8\\ ab - 4a - 4b + 8 = 0\] 아주 익숙한 부정방정식이다. 인수분해를 위해서 양변에 8을 더해서 정리하면 \[ a(b - 4) - 4b + 16 = 8\\ a(b - 4) - 4(b - 4) = 8\\ (a - 4)(b - 4) = 8\]
  1. \(a - 4 = 1\), \(b - 4 = 8\)
    이 경우 \(a = 5\), \(b = 12\)이고 \(c = \sqrt{5^{2} + 12^{2}} = 13\)이며, 위의 모든 조건을 만족하는 것을 확인할 수 있다. (가능)
  2. \(a - 4 = 2\), \(b - 4 = 4\)
    이 경우 \(a = 6\), \(b = 8\)이고 \(c = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = 10\)이며, 위의 모든 조건을 만족하는 것을 확인할 수 있다. (가능)
  3. 다른 모든 경우
    \(a - 4\), \(b - 4\)가 둘 다 양수인 경우는 위의 경우와 \(a\), \(b\)의 위치만 바뀐 것이므로 생각하지 않는다. (생략)
    \(a - 4\), \(b - 4\)가 둘 다 음수인 경우는 \(a\) 혹은 \(b\)가 반드시 \(0\)보다 작거나 같다. (불가능)
따라서 \(5\), \(12\), \(13\)과 \(6\), \(8\), \(10\)의 두 개이다. \(\quad\square\)


6. \(x = 2003\)으로 잡으면 다음과 같은 식 \[(x - 1)^{2004} = xQ(x) + R\] 을 세울 수 있으며 나머지정리에 의해 \(R = 1\)이다.
따라서, \[(x - 1)^{2004} = xQ(x) + 1\\ {2002}^{2004} = 2003\cdot Q(2003) + 1\] 에서 나머지는 1이다. \(\quad\square\)


7. \(x \not= 0\)이므로, 더 이상의 자세한 설명은 생략한다. \[ \begin{align*} x^{2} + \frac{1}{x^{2}} &= \left(x + \frac{1}{x}\right)^{2} - 2\cdot x\cdot\frac{1}{x} = 1^{2} - 2 = -1\\ x^{3} + \frac{1}{x^{3}} &= \left(x + \frac{1}{x}\right)^{3} - 3\cdot x\cdot\frac{1}{x}\left(x + \frac{1}{x}\right) = 1^{3} - 3\cdot 1 = -2\\ x^{5} + \frac{1}{x^{5}} &= \left(x^{2} + \frac{1}{x^{2}}\right)\left(x^{3} + \frac{1}{x^{3}}\right) - \left(x + \frac{1}{x}\right) = (-1)\cdot(-2) - 1 = 1\\ x^{10} + \frac{1}{x^{10}} &= \left(x^{5} + \frac{1}{x^{5}}\right)^{2} - 2\cdot x^{5}\cdot\frac{1}{x^{5}} = 1^{2} - 2 = -1 \end{align*} \\\therefore x^{10} + \frac{1}{x^{10}} = -1\quad\square\]


8. 소수는 \(2\)를 제외하고는 모두 홀수이므로, 그 성질을 이용한다. 우선 \(p = 2\)를 대입하면 \[p = 2 :\quad 17 \cdot 2 + 1 = 35\] 가 제곱수가 아니므로, \(p\)는 홀수이다. \(p\)가 홀수이므로 \(17p\) 또한 홀수이며, 주어진 식은 짝수가 된다.
짝수인 완전제곱수는 짝수의 제곱이므로, \(17p + 1 = (2m)^{2}\ = 4m^{2}\)(\(m\)은 자연수)로 둔다.
식을 변형하면, \(17p = 4m^{2} - 1 = (2m + 1)(2m - 1)\)이다. 따라서 \(2m + 1\), \(2m - 1\)이 모두 \(17p\)의 약수여야 하는데,
\(p\)는 소수이므로 \(17p\)의 약수는 \(1\), \(17\), \(p\), \(17p\)의 네 가지밖에 없다.
  1. \(2m + 1 = 1\), \(2m - 1 = 17p\)
    좌측 식에서 \(m = 0\)인데 \(m\)을 자연수로 두었다. (불가능)
  2. \(2m + 1 = 17\), \(2m - 1 = p\)
    좌측 식에서 \(m = 8\)이고, 이를 우측 식에 대입하면 \(p = 2\cdot 8 - 1 = 15\)이다.
    그런데 \(15\)는 소수가 아니다. (불가능)
  3. \(2m + 1 = p\), \(2m - 1 = 17\)
    우측 식에서 \(m = 9\)이고, 이를 좌측 식에 대입하면 \(p = 2\cdot 9 + 1 = 19\)이다.
    그리고 \(19\)는 소수이다. (가능)
  4. \(2m + 1 = 17p\), \(2m - 1 = 1\)
    우측 식에서 \(m = 1\)이고, 이를 좌측 식에 대입하여 계산하면 \(p = \frac{2\cdot 1 + 1}{17} = \frac{3}{17}\)이다.
    이 값은 자연수가 아니다. (불가능)
따라서 \(p = 19\)인 경우밖에 없다. \(\quad\square\)

자유로운 생각

6. \[2002^{2004} \equiv (-1)^{2004} \equiv 1\ (\operatorname{mod}\ 2003)\quad\square\]
7. \(a_n = x^{n} + x^{-n}\)이고 \(a_1 = 1\)인 수열의 일반항을 구해 보자.
\[a_{n} = a_{n}\cdot a_{1} = \left(x^{n} + x^{-n}\right)\left(x + x^{-1}\right) = x^{n + 1} + x^{n - 1} + x^{1 - n} + x^{-n - 1} = a_{n + 1} + a_{n - 1}\] 여기서 점화식 \(a_{n + 2} - a_{n + 1} + a_{n} = 0\)이 유도된다.
일단 이것만으로는 전체 수열을 구하는 것이 불가능하므로 \(a_2\)를 간단하게 구하면 \(a_2 = -1\)이 된다.
특성방정식의 두 해를 구하자. \[\alpha^{2} - \alpha + 1 = 0\\ \therefore \alpha = \frac{1 \pm \sqrt{1^{2} - 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{3}i}{2}\\ \mathrm{let}\ \alpha_{1} = \frac{1 + \sqrt{3}i}{2}, \alpha_{2} = \frac{1 - \sqrt{3}i}{2}\] 여기서, \[\left(a_{n + 2} - \alpha_{1} a_{n + 1}\right) = \alpha_{2} \left(a_{n + 1} - \alpha_{1} a_{n}\right)\\ \mathrm{let}\ b_{n} = a_{n + 1} - \alpha_{1} a_{n}\\ b_{1} = a_{2} - \alpha_{1} a_{1} = - 1 - \alpha_{1} = \alpha_{2} - 2\\ b_{n + 1} = \alpha_{2}b_{n}\\ \therefore b_{n} = b_{1} \cdot {\alpha_{2}}^{n - 1} = {\alpha_{2}}^{n} - 2{\alpha_{2}}^{n - 1} \] 마찬가지로, \[\left(a_{n + 2} - \alpha_{2} a_{n + 1}\right) = \alpha_{1} \left(a_{n + 1} - \alpha_{2} a_{n}\right)\\ \mathrm{let}\ c_{n} = a_{n + 1} - \alpha_{2} a_{n}\\ c_{1} = a_{2} - \alpha_{2} a_{1} = - 1 - \alpha_{2} = \alpha_{1} - 2\\ c_{n + 1} = \alpha_{1}c_{n}\\ \therefore c_{n} = c_{1} \cdot {\alpha_{1}}^{n - 1} = {\alpha_{1}}^{n} - 2{\alpha_{1}}^{n - 1} \] 새로이 만든 두 수열 \(\{b_{n}\}\), \(\{c_{n}\}\)을 연립하면, \[\alpha_{2}b_{n} - \alpha_{1}c_{n} = \left({\alpha_{2}}^{n + 1} - 2{\alpha_{2}}^{n}\right) - \left({\alpha_{1}}^{n + 1} - 2{\alpha_{1}}^{n}\right)\\ \left(\alpha_{2} - \alpha_{1}\right) a_{n + 1} = \left({\alpha_{2}}^{n + 1} - {\alpha_{1}}^{n + 1}\right) - 2\left({\alpha_{2}}^{n} - {\alpha_{1}}^{n}\right) \] 여기서, \(\alpha\)들을 극형식으로 쓰고 드 무아브르의 정리를 적용하자. \[ {\alpha_{1}}^{x} = \left(\cos{\frac{\pi}{3}} + i\sin{\frac{\pi}{3}}\right)^{x} = \cos{\frac{x\pi}{3}} + i\sin{\frac{x\pi}{3}}\\ {\alpha_{2}}^{x} = \left(\cos{\frac{\pi}{3}} - i\sin{\frac{\pi}{3}}\right)^{x} = \cos{\frac{x\pi}{3}} - i\sin{\frac{x\pi}{3}}\\ \therefore {\alpha_{2}}^{x} - {\alpha_{1}}^{x} = -2i\sin{\frac{x\pi}{3}} \] 이 식을 위의 식에 대입하면 \[ \sin{\frac{\pi}{3}} a_{n+1} = \sin{\frac{(x+1)\pi}{3}} - 2\sin{\frac{x\pi}{3}}\\ \therefore a_{n+1} = \left(\sin{\frac{(n+1)\pi}{3}} - 2\sin{\frac{n\pi}{3}}\right){\csc{\frac{\pi}{3}}} \] \(u = n\pi / 3\), \(v = \pi / 3\)으로 두고 식을 계산하자! \[ \begin{align*} a_{n+1} &= \left(\sin{\frac{(n+1)\pi}{3}} - 2\sin{\frac{n\pi}{3}}\right){\csc{\frac{\pi}{3}}}\\ &= \left(\sin{(u + v)} - 2\sin{u}\right){\csc{v}}\\ &= \left(\sin{u}\cos{v} + \cos{u}\sin{v} - 2\sin{u}\right){\csc{v}}\\ &= \sin{u}\cos{v}\csc{v} + \cos{u}\sin{v}\csc{v} - 2\sin{u}\csc{v}\\ &= \sin{u}\left(\cot{v} - 2\csc{v}\right) + \cos{u}\\ &= \cos{u} - \sqrt{3}\sin{u}\\ &= 2\left(\frac{1}{2}\cos{u} - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin{u}\right)\\ &= 2\left(\cos{u}\cos{v} - \sin{u}\sin{v}\right)\\ &= 2\cos{(u + v)} \end{align*} \] \(u + v = (n + 1)\pi / 3\)이므로 \(n + 1\) 대신에 \(n\)을 대입하면, 식이 완성된다. \[a_{n} = 2\cos{\frac{n\pi}{3}}\quad\square\]