2014년도 KMO 고등부 수행평가

문제

1. 아래와 같은 \(2 \times 6\) 격자의 각 칸에 \(1\) 또는 \(2\) 중 하나를 써 넣으려고 한다. 각 \(i = 1, 2, 3, 4, 5, 6\)에 대하여 \(i\)번째 열의 두 수의 곱을 \(c_i\)라 할 때, \(c_1 + c_2 + c_3 + c_4 + c_5 + c_6\)이 짝수가 되도록 하는 방법의 수를 구하여라.
   
   
   
   
2. 다항식 \(f(x)\)와 실수 \(a\), \(b\), \(c\)에 대하여 \[f(x)(x-1)^{20} = (x^{2} + ax + 1)^{30} + (x^{2} + bx + c)^{10}\]일 때, \(f(1) + a^{2} + b^{2} + c^{2}\)의 값을 구하여라.
3. 선분 \(AB\) 위에 \(\overline{AS} = 3\), \(\overline{SB} = 4\)인 점 \(S\)가 있다. \(\angle XBS = \angle AXS\)를 만족하는 점 \(X\)에서 직선 \(AB\)까지 거리를 \(d\)라 할 때, \(d^2\)의 최댓값을 구하여라.
4. 양의 정수 중 \(6\)의 배수가 아니고 \(2014\) 이하인 수들의 곱을 \(a\)라 하자. \(\frac{a}{5^{k}}\)가 정수가 되도록 하는 양의 정수 \(k\) 중 가장 큰 것을 구하여라.
5. 최고차항의 계수가 \(1\)인 \(4\)차 다항식 \(f(x)\)가 \[f(2^{n} + 1) = 8^{n} + 1\quad(n = 1, 2, 3, 4)\]을 만족할 때, \(f(1)\)의 값을 구하여라.
6. 집합 \(\{1, 2, 3, \cdots, 8\}\)의 부분집합 중에서 연속한 \(4\)개의 수를 포함한 것의 개수를 구하여라.
7. 다음 조건을 만족하는 정수 \(n\) 중 가장 큰 것을 구하여라.

   \(n\)은 정수의 세제곱이 아니며, \(n^{2}\)은 \(\left(\left\lfloor\sqrt[3]{n}\right\rfloor\right)^{5}\)의 배수이다.

   (단, \(\left\lfloor x\right\rfloor\)는 \(x\)를 넘지 않는 가장 큰 정수이다.)
8. 삼각형 \(ABC\)의 세 변의 길이가 \(\overline{AB} = 5\), \(\overline{BC} = 7\), \(\overline{CA} = 8\)이다. 직선 \(AB\)까지의 거리가 \(3\)이고 직선 \(BC\)까지의 거리가 \(2\)인 점이 여러 개 있다. 이러한 점들에서 직선 \(CA\)까지의 거리의 총합을 \(x\)라 할 때, \(x^{2}\)의 값을 구하여라.
9. 한 변의 길이가 \(1\)인 정\(20\)각형 \(P_{1}P_{2}\cdots P_{20}\)의 꼭짓점 다섯 개로 이루어진 오각형 중 모든 변의 길이가 \(2\)보다 큰 것의 개수를 구하여라. (단, 두 오각형을 이루는 꼭짓점이 하나라도 다르면 다른 것으로 본다.)
10. 내심이 \(I\)인 삼각형 \(ABC\)의 내접원이 변 \(BC\), \(CA\), \(AB\)와 각각 점 \(D\), \(E\), \(F\)에서 접할 때, 직선 \(EF\)와 \(BC\)가 점 \(J\)에서 만나고 \(\overline{BJ} = 100\), \(\overline{CJ} = 60\)이다. 삼각형 \(ABC\)의 한 방접원이 변 \(BC\)와 점 \(K\)에서 접하고, 직선 \(IK\)가 변 \(CA\)를 \(5 : 3\)으로 내분하는 점 \(L\)을 지난다. 삼각형 \(ABC\)의 내접원의 반지름을 \(r\)이라 할 때, \(r^{2}\)의 값을 구하여라.
11. 모든 실수 \(x > 1\)에 대하여 부등식 \[x^{100}-ax^{51}+ax^{49}\ge 1\]이 항상 성립하게 하는 실수 \(a\) 중 가장 큰 것을 구하여라.
12. 정수 \((m+164)(m^{2}+164^{2})\)이 어떤 정수의 제곱이 되도록 하는 양의 홀수 \(m\) 중 가장 작은 것을 구하여라.
13. \(f(m)=6^{m}\)일 때, 분수식 \[\sum_{n=1}^{20}{\frac{x^{f(n)}(1-x^{f(20n)})}{1-x^{f(n)}}}\quad(x\neq \pm 1)\]을 간단히 하면 정수 계수 다항식을 얻는다. 이 다항식에서 \(x^{1\times 2\times 3\times \cdots \times 20}\)의 계수를 구하여라.
14. 변의 길이가 모두 양의 정수이며 다음 조건을 모두 만족하는 다음 조건을 모두 만족하는 육각형의 둘레의 길이의 최댓값을 구하여라.

    1. 내각의 크기가 모두 같다.
    2. 두 변이 평행하면 그 길이가 같다.
    3. 이웃한 두 변의 길이는 다르다.
    4. 넓이는 \(12\sqrt{3}\) 이하이다.

15. 양의 정수 \(m\), \(n\)(\(m < n\))에 대하여 \(m\) 이상 \(n\) 이하인 정수의 집합을 \([m, n]\)이라 하자. \(8\) 이하인 양의 정수 \(a_{1}\), \(a_{2}\), \(a_{3}\), \(b_{1}\), \(b_{2}\), \(b_{3}\)을 고를 때, \(a_{1} < a_{2} < a_{3}\)을 만족하고, \([a_{1}, b_{1}]\), \([a_{1}, b_{1}]\), \([a_{1}, b_{1}]\) 중 어느 것도 다른 것의 부분집합이 아닌 경우의 수를 구하여라. (단, \(a_{1} < b_{1}\), \(a_{2} < b_{2}\), \(a_{3} < b_{3}\))
16. 모든 \(m, n, k \ge 0\)에 대하여 \[0 < a_{m+n+k} \le 3 \operatorname{max}\{a_{m}, a_{n}, a_{k}\}\]를 만족하는 임의의 수열 \(a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdots\)에 대하여 \[\frac{a_{i_{1}+\cdots+i_{201}}}{\operatorname{max}\{a_{i_1}, \cdots, a_{i_201}\}}\]이 가질 수 있는 값 중 가장 큰 것을 구하여라.
    (단, \(\operatorname{max}\{x_{1}, \cdots, x_{l}\}\)은 \(x_{1}, \cdots, x_{l}\) 중 가장 큰 수이다.)
17. 각 \(A\)가 예각인 삼각형 \(ABC\)에 대하여 각 \(B\)의 이등분선이 변 \(AC\)와 만나는 점을 \(D\), 각 \(C\)의 이등분선이 변 \(AB\)와 만나는 점을 \(E\)라 하자. 선분 \(DE\)의 중점 \(F\)에서 직선 \(AB\)와 \(BC\)에 내린 수선의 발을 각각 \(J\)와 \(K\)라 하면, \(\overline{AD} = 30\), \(\overline{FJ} = 12\), \(\overline{FK} = 20\)이다. \(\overline{DE} = x\)일 때, \(x^{2}\)의 값을 구하여라.
18. 모든 \(-1 \le x \le 1\)에 대하여 \(0 \le f(x) \le 1\)인 \(6\)차 다항식 \(f(x)\)에서 \(x^{6}\)의 계수가 될 수 있는 수 중 가장 큰 것을 구하여라.
20. 수열 \(\{a_{n}\}\)을 다음과 같이 정의한다.\[a_{1} = 1,\quad a_{n+1} = \frac{1}{2\left\lfloor{a_{n}}\right\rfloor - a_{n} + 1}\quad(n \ge 1)\]\(a_{2014}=\frac{q}{p}\)(\(p\), \(q\)는 서로소인 양의 정수)일 때 \(p + q\)의 값을 구하여라. (단, \(\left\lfloor x\right\rfloor\)는 \(x\)를 넘지 않는 가장 큰 정수이다.)

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