함수를 미분해 버리자!
두 점 사이의 기울기를 구해 보자. 여러분 모두가 중1때 배웠듯 \(y = f(x)\) 위의 어떤 두 점 \(a\), \(b\) 사이의 기울기는 \[\frac{f(b) - f(a)}{b - a}\]이다. 그렇다면 한 점에서의 접선의 기울기는 어떻게 구할까? 만약 \(b\)를 \(a\)로 무한히 접근시킨다면 그 값 \[\lim_{b \rightarrow a}\frac{f(b) - f(a)}{b - a}\]은 \(a\) 한 점에서의 기울기가 될 것이다.
이와 같이 한 점에서의 접선의 기울기를 구하는 것을 미분계수를 구한다고 하고, 이를 모든 점에서 사용할 수 있는 식을 구하는 것을 미분한다고 하며, 그 식 자체를 도함수(표기는 \(f'(x)\))라고 한다.
예를 들어, \(f(x) = x^{2}\)의 \(x = 1\)에서의 미분계수는, \[f'(1) = \lim_{b \rightarrow 1} \frac{b^{2} - 1}{b - 1} = \lim_{b \rightarrow 1} \frac{(b - 1)(b + 1)}{b - 1} = \lim_{b \rightarrow 1} (b + 1) = 2\]이며, 이를 일반화시킨 도함수는 \[f'(x) = \lim_{b \rightarrow x} \frac{b^{2} - x^{2}}{b - x} = \lim_{b \rightarrow x} \frac{(b - x)(b+ x)}{b - x} = \lim_{b \rightarrow x} (b + x) = 2x\]가 되며, 이 식에서 구한 값 \(f'(1) = 2\cdot 1 = 2\)는 위에서 구했던 값과 일치한다.
미분한다는 것이 결국 기울기를 구한다는 것에서 착안하면, 다음을 얻는다(\(c\)는 상수): \[\begin{align*}
f(x) = c &\Rightarrow f'(x) = 0\\
f(x) = cx &\Rightarrow f'(x) = c
\end{align*}\]
두 함수의 합을 미분하면 어떻게 될까? \(f\)와 \(g\)가 미분 가능하고 \(h(x) := f(x) + g(x)\)라면
\[\begin{align*}
h'(x) &= \lim_{y \rightarrow x}\frac{h(y) - h(x)}{y - x}\\
&= \lim_{y \rightarrow x}\frac{(f(y) + g(y)) - (f(x) + g(x))}{y - x}\\
&= \lim_{y \rightarrow x}\frac{(f(y) - f(x)) + (g(y) - g(x))}{y - x}\\
&= \lim_{y \rightarrow x}\frac{f(y) - f(x)}{y - x} + \lim_{y \rightarrow x}\frac{g(y) - g(x)}{y - x}\\
&= f'(x) + g'(x)
\end{align*}\]
(미분의 선형성) 따라서 두 함수의 합의 미분은 각각 미분하여 더하면 된다는 결론을 얻는다.
곱하기의 경우를 하기 전에, \(f\)가 미분 가능하면: \[\begin{align*}
\lim_{y \rightarrow x} \frac{f(y) - f(x)}{y - x} &= f'(x)\\
\lim_{y \rightarrow x} (y - x)\lim_{y \rightarrow x} \frac{f(y) - f(x)}{y - x} &= f'(x)\cdot \lim_{y \rightarrow x} (y - x)\\
\lim_{y \rightarrow x} \left(\frac{f(y) - f(x)}{y - x}\cdot (y - x)\right) &= 0\\
\lim_{y \rightarrow x} f(y) - f(x) &= 0\\
\therefore \lim_{y \rightarrow x} f(y) &= f(x)
\end{align*}\]
따라서 미분 가능하면 연속이다.
이제 곱의 경우를 계산한다. \(f\)와 \(g\)가 미분 가능하고 \(h(x) = f(x) \cdot g(x)\)라면 \(\lim_{y \rightarrow x} f(y) = f(x)\)에서\[\begin{align*}
h'(x) &= \lim_{y \rightarrow x}\frac{h(y) - h(x)}{y - x}\\
&= \lim_{y \rightarrow x}\frac{f(y)\cdot g(y) - f(x)\cdot g(x)}{y - x}\\
&= \lim_{y \rightarrow x}\frac{f(y)\cdot g(y) - f(y) \cdot g(x) + f(y) \cdot g(x) - f(x) \cdot g(x)}{y - x}\\
&= \lim_{y \rightarrow x}\left(f(y)\cdot\frac{g(y) - g(x)}{y - x} + g(x)\cdot\frac{f(y) - f(x)}{y - x}\right)\\
&= \lim_{y \rightarrow x}f(y)\cdot\lim_{y \rightarrow x}\frac{g(y) - g(x)}{y - x} + g(x)\cdot\lim_{y \rightarrow x}\frac{f(y) - f(x)}{y - x}\\
&= f(x) g'(x) + f'(x) g(x)
\end{align*}\]
가 된다.
예제 \(f(x) = \sqrt{x}\)일 때, \(f'(x)\)는?
풀이 \[\begin{align*}
x &= \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\\
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} x &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\right)\\
1 &= \sqrt{x} \cdot \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sqrt{x}\right) + \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sqrt{x}\right) \cdot \sqrt{x}\\
&= 2 \sqrt{x} \cdot \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sqrt{x}\right)\\
\therefore \frac{1}{2 \sqrt{x}} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sqrt{x} = f'(x)
\end{align*}\]
(\(\mathrm{d} / \mathrm{d}x\)는 \(x\)로 미분한다는 뜻이다)
굉장히 유용한 정리를 하나 소개한다. \(f\)와 \(g\)가 미분 가능하고 \(h(x) := f\circ g(x) = f(g(x))\)에서 \(h'(x)\)를 계산한다. 먼저, \[f'(x) = \lim_{y \rightarrow x}\frac{f(y) - f(x)}{y - x}\]에서 \(y = x + h\)로 두면 \[f'(x) = \lim_{x + h \rightarrow x}\frac{f(x + h) - f(x)}{x + h - x} = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}\]라 쓸 수 있다. 이제 마찬가지로 \[g'(x) = \lim_{k \rightarrow 0}\frac{g(x + k) - g(x)}{k}\]로 쓸 수 있다. 이제 두 종속변수 \(u\), \(v\)를 \[\begin{align*}
u &:= \frac{f(y + h) - f(y)}{h} - f'(y)\\
v &:= \frac{g(x + k) - g(x)}{k} - g'(x)
\end{align*}\]
로 정의하면 \(h \rightarrow 0\)일 때 \(u \rightarrow 0\)이고, \(k \rightarrow 0\)일 때 \(v \rightarrow 0\)이다. 이 식에서, \[\begin{align*}
f(y) + h(u + f'(y)) &= f(y + h)\\
g(x) + k(v + g'(x)) &= g(x + k)
\end{align*}\]가 된다.
\(h := k(v + g'(x))\)로 정의하면
\[\begin{align*}
f(g(x + k)) - f(g(x)) &= f(g(x) + k(v + g'(x))) - f(g(x))\\
&= f(g(x) + h) - f(g(x))\\
&= f(g(x)) + h(u + f'(g(x))) - f(g(x))\\
&= k(v + g'(x))(u + f'(g(x)))
\end{align*}\]
인데, \(k \rightarrow 0\)일 때 \(h \rightarrow 0\)이며, \(u \rightarrow 0\), \(v \rightarrow 0\)이 되므로, \(h'(x)\)를 계산하면 \[\begin{align*}
h'(x) &= \lim_{k \rightarrow 0}\frac{f(g(x + k)) - f(g(x))}{k}\\
&= \lim_{k \rightarrow 0}\frac{k(v + g'(x))(u + f'(g(x)))}{k}\\
&= \lim_{k \rightarrow 0}(v + g'(x))(u + f'(g(x)))\\
&= (\lim_{k \rightarrow 0}v + g'(x))(\lim_{k \rightarrow 0}u + f'(g(x)))\\
&= g'(x)f'(g(x))
\end{align*}\]이다. 결론만을 정리하면 \[
(f \circ g)' (x) = g'(x)\cdot f'(g(x))
\](합성함수 미분법, chain rule)이 된다.
\(f(x) := \log {x}\)일 때, \(f'(x)\)를 계산하면(\(u := k/x\)) \[\begin{align*}
f'(x) &= \lim_{k \rightarrow 0}\frac{f(x + k) - f(x)}{k}\\
&= \lim_{k \rightarrow 0}\left(\frac{1}{k}(\log(x + k) - \log{x})\right)\\
&= \lim_{k \rightarrow 0}\left(\frac{1}{k}\log\frac{x + k}{x}\right)\\
&= \lim_{k \rightarrow 0}\left(\frac{1}{k}\log\left(1 + \frac{k}{x}\right)\right)\\
&= \frac{1}{x}\lim_{k \rightarrow 0}\left(\frac{x}{k}\cdot\log(1 + u)\right)\\
&= \frac{1}{x}\log\lim_{u \rightarrow 0}\left(1 + u\right)^{\frac{1}{u}}\\
&= \frac{1}{x}
\end{align*}\]
여기서, 합성함수 미분법에 의해
\[\begin{align*}
x &= e^{\log x}\\
1 &= \frac{1}{x} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}(\log x)}e^{\log x}\\
x &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}(\log x)}e^{\log x}\\
&= e^{\log x}\\
\therefore \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^{x} &= e^{x}
\end{align*}\]이 된다. 이를 이용하여 \(x^r\)(\(x > 0\)) 꼴의 미분이 가능해진다: \[\begin{align*}
\frac{\mathrm{d}x^{r}}{\mathrm{d}x}
&= \frac{\mathrm{d}e^{r\log{x}}}{\mathrm{d}x}\\
&= \frac{\mathrm{d}(r\log{x})}{\mathrm{d}x}\cdot\frac{\mathrm{d}e^{r\log{x}}}{\mathrm{d}(r\log{x})}\\
&= \frac{r}{x} \cdot e^{r\log{x}}\\
&= r x^{r-1}
\end{align*}\]
이는 \(r\)이 음이 아닌 정수일 때 모든 실수 \(x\)에 대해서 똑같이 성립(\(0^0 := 1\)로 생각한다)하고,
\(r\)이 음의 정수일 때 \(0\)을 제외한 모든 실수 \(x\)에 대해서 똑같이 성립한다.
예제 바로 윗 문장을 증명하시오.
풀이
\(x < 0\)일 때
- \(r\)이 짝수라면 \(r-1\)은 홀수이므로,\[\begin{align*}
\frac{\mathrm{d}x^{r}}{\mathrm{d}x} &= \frac{\mathrm{d}(-x)^{r}}{\mathrm{d}x}\\
&= \frac{\mathrm{d}(-x)}{\mathrm{d}x} \cdot \frac{\mathrm{d}(-x)^{r}}{\mathrm{d}(-x)}\\
&= -r (-x)^{r - 1}\\
&= r x^{r - 1}
\end{align*}\]
- \(r\)이 홀수라면 \(r-1\)은 짝수이므로,\[\begin{align*}
\frac{\mathrm{d}x^{r}}{\mathrm{d}x} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}-(-x)^{r}\\
&= -\frac{\mathrm{d}(-x)}{\mathrm{d}x} \cdot \frac{\mathrm{d}(-x)^{r}}{\mathrm{d}(-x)}\\
&= -(-r) (-x)^{r - 1}\\
&= r x^{r - 1}
\end{align*}\]
i, ii에서 \(x \neq 0\)인 경우는 \(\mathrm{d}x^{r}/\mathrm{d}x = rx^{r - 1}\)이 유도된다.
이제 \(x = 0\)인 경우를 보이자. \(r > 1\)이라면 미분을 실제로 시행하여 \[\begin{align*}
\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^r\right|_{x = 0}
&= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{h^{r} - 0}{h}\\
&= \lim_{h \rightarrow 0} h^{r - 1}\\
&= 0
\end{align*}\]
이라는 결과를 얻는다. \(x\)나 \(1\) 같은 함수들은 \(x = 0\)에서 가장 기본적인 미분 기법을 이용하여 마찬가지로 증명할 수 있다. \(\quad\square\)
예제 \(f(x) := x^{3} + x + 1\)일 때 \(f'(x)\)?
풀이 \[\begin{align*}
f'(x) &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{3} + x + 1)\\
&= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^{3} + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}1\\
&=3x^2 + 1\quad\quad\square
\end{align*}\]
미완