모든 자연수의 합은 \(-\frac{1}{12}\)이다!
여기서는 모든 자연수의 합이 \(-\frac{1}{12}\)인 것에 대해서 얘기해 보고자 한다.
내용이 충분이 어려우므로, 선행 지식이 요구되는 용어는 위키백과에 링크해 놓겠다.
이런 방식이 되겠다. 테스트[한][영]
감마 함수
다음과 같이 정의되는 함수를 감마 함수라 부른다:
\[\Gamma (x) = \int^{\infty}_{0} e^{-t}t^{x}\frac{dt}{t}\]
이 함수는 다음과 같은 성질을 갖는다.
\[\Gamma (1) = \int^{\infty}_{0} e^{-t} dt = \left.-e^{-t}\right|^{\infty}_{0}=1\\
\Gamma (x) = \int^{\infty}_{0} e^{-t} t^{x} \frac{dt}{t} = \left.-e^{-t} t^{x-1}\right|^{\infty}_{0}+(x-1)\int^{\infty}_{0}e^{-t} t^{x-1}\frac{dt}{t}=(x-1)\Gamma(x-1)\]
보통 이 식은 \(\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)\)의 꼴로 더 자주 쓰인다.
이 식을 이용해서 \(x > 0\)에서만 정의되는 \(\Gamma(x)\)를 analytic continuation[한][영]에 의해서 \(x \leq 0\)에서도 정의할 수 있다.
또 다른 것은, 모든 자연수 \(n\)에 대해서,
\[\Gamma(1) = 1 = 0!\\
\Gamma(n) = (n-1)!\\
\Rightarrow \Gamma(n+1)=n\Gamma(n)=n\cdot (n-1)!=n!\\
\therefore \Gamma(n) = (n-1)!\]
따라서 이 함수는 계승의 확장이라고 볼 수 있다. 공학용 계산기를 보면 팩토리얼이 임의의 양의 실수에 대해서 모두 계산 가능한 것으로 여겨지기도 하는데, 사실 \(0.5!\) 등을 입력하면 \(\Gamma(1.5)\)와 같은 식으로 계산된다.